最长上升子序列——线性DP（C++）

AcWing 895. 最长上升子序列
给定一个长度为N的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。

输入格式
第一行包含整数N。

第二行包含N个整数，表示完整序列。

输出格式
输出一个整数，表示最大长度。

数据范围
1≤N≤1000，
−109≤数列中的数≤109
输入样例：

7  
3 1 2 1 8 5 6  

输出样例：

4  

思路

此处要分析动态规划中的状态表示，f[i]的意义是以第i个为结尾的上升子序列，而我们需要求的属性是MAX，对于f[i]我们可以划分为 以i之前一个数为结尾的上升子序列 + 1，此处需满足条件是a[i] > a[j].
最后需要遍历所有f，来存一个最大值

#include <iostream>  
#include <algorithm>  
  
using namespace std;  
  
const int N = 1010;  
  
int n;  
int a[N], f[N];//f[i]表示所有以i结尾的严格单调上升的子序列的最大长度  
  
int main()  
{  
    scanf("%d", &n);  
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);  
  
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )  
    {  
        f[i] = 1; // 只有a[i]一个数,每一个f[i]的初始化都是1，因为最短就是本身，即为1；  
        for (int j = 1; j < i; j ++ )  
            if (a[j] < a[i])//虽然划分包含所有a[i],但其不一定合法，因此需要提前预判一下  
                f[i] = max(f[i], f[j] + 1);  
    }  
  
    int res = 0; //通过遍历f数组，来求最大值  
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) res = max(res, f[i]);  
  
    printf("%d\n", res);  
  
    return 0;  
}  
  
12345678910111213141516171819202122232425262728293031  

AcWing 896. 最长上升子序列 II
给定一个长度为N的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。

输入格式
第一行包含整数N。

第二行包含N个整数，表示完整序列。

输出格式
输出一个整数，表示最大长度。

数据范围
1≤N≤100000，
−109≤数列中的数≤109
输入样例：

7  
3 1 2 1 8 5 6  

输出样例：

4  

/*我们遍历原来的a数组，对于每个a[i],我们在q[]数组查找小于a[i]的最大的数x   
找到以后我们将x的后一个数更新成a[i],因为x是小于a[i]的最大的数,那么x的后一个数一定  
是大于等于a[i]的.这个也好证明,如果x的后一个数也小于a[i],那么q数组中小于a[i]的的最大的数就不是  
x了而是x的后一个数了(数组q单调上升),这与我们二分的结果相反。  
*/   
#include <iostream>  
#include <algorithm>  
  
using namespace std;  
  
const int N = 100010;  
  
int n;  
int a[N];  
int q[N];  
  
int main()  
{  
    scanf("%d", &n);  
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);  
  
    int len = 0;  
    for (int i = 0; i < n; i ++ )// 从短到长解决各个子串的  
    {  
        int l = 0, r = len;// 二分搜索，得到能接在 a[i] 前面的上升子序列的最大长度 l  
        while (l < r)//二分去更新数组q  
        {  
            int mid = l + r + 1 >> 1;  
            if (q[mid] < a[i]) l = mid;  
            else r = mid - 1;  
        }  
        len = max(len, r + 1);  
        q[r + 1] = a[i];  
    }  
  
    printf("%d\n", len);  
  
    return 0;  
}